В двадцатые годы прошлого века немецкий математик Дэвид Гильберт разработал наглядную модель, которая показала, насколько сложно осмыслить идею бесконечности.
Представьте себе гостиницу с бесконечным количеством комнат и трудолюбивым ночным администратором. Как-то ночью бесконечная гостиница оказывается забита под завязку — всё занято бесконечным количеством гостей. В гостиницу заходит человек и просит комнату. Но вместо того, чтобы отказать, администратор решает освободить для него одну.
Как? Да просто! Он предлагает постояльцу в номере один переехать в номер два, жильцу из номера два — в номер три и так далее. Все гости переезжают из номера n в номер n+1. Количество номеров бесконечно, а значит, для каждого постояльца найдётся новая комната, а номер один освободится для нового клиента. Этот алгоритм можно использовать для любого конечного числа гостей. Если, к примеру, из туристического автобуса выйдет сорок человек и каждому будет нужна комната, тогда все нынешние постояльцы передвигаются из номера n в номер n+40, таким образом освобождая первые сорок комнат.
Но вот у гостиницы останавливается бесконечно большой автобус со счётно бесконечным количеством пассажиров. «Счётный» — ключевое слово. Сначала, увидев бесконечное количество пассажиров, администратор приходит в замешательство. Но потом понимает, что может всех разместить. Он просит постояльца из номер один перейти в номер два, затем он просит того, кто в номере два, перейти в номер четыре, из номера три — в номер шесть и так далее. Все клиенты переезжают из номера n в номер 2n, заполняя бесконечное количество комнат с чётным номером, а значит, администратору удаётся освободить бесконечное количество нечётных номеров. В них въедут пассажиры бесконечного автобуса. Все счастливы. Гостиница получает ещё бо́льшую прибыль, точнее, такую же прибыль как всегда — бесконечно большую сумму в долларах.
О невероятной гостинице говорят все. Люди стекаются сюда со всего мира. И как-то ночью происходит невероятное: администратор выглядывает в окно и видит бесконечную череду бесконечно больших автобусов, в каждом счётно бесконечное количество пассажиров. Что же делать? Если он не найдёт достаточно номеров, гостиница понесёт бесконечные убытки, и он, несомненно, потеряет работу.
К счастью, он вспоминает, что примерно в трёхсотом году до нашей эры Евклид доказал, что количество простых чисел бесконечно. И чтобы решить эту на первый взгляд безнадёжную задачу и найти бесконечное количество комнат для бесконечного числа усталых пассажиров бесконечных автобусов, администратор перемещает всех постояльцев в номер с первым простым числом — 2, возведённым в степень, равную номеру их комнаты. И тот, кто сейчас занимает комнату номер семь, переедет в номер два в седьмой степени, то есть сто двадцать восьмой.
Администратор распределяет пассажиров первого бесконечного автобуса в комнаты. Их номера соответствуют следующему простому числу — 3, возведённому в степень, равному номеру сидения в автобусе. Значит, человек, на сидении семь в первом автобусе, идёт в комнату три в седьмой степени, то есть в комнату 2187. Так происходит со всеми в первом автобусе. Пассажиры второго занимают степени следующего простого числа — 5, следующего автобуса — степени семи, а затем 11, 13, 17 и так далее. У всех этих чисел множителями могут быть только единица и простое число в степени с натуральным показателем, поэтому номера комнат ни у кого не совпадают.
Все пассажиры распределяются согласно плану распределения, который основывается на уникальном простом числе. С помощью подобного способа администратор может разместить всех пассажиров со всех автобусов. Однако, много комнат останутся не занятыми, например номер шесть, так как шесть не является степенью какого-либо простого числа. К счастью, его начальники слабы в математике, так что работе ничего не угрожает.
Алгоритм ночного администратора можно применить только из-за того, что хоть и являясь настоящим вычислительным кошмаром, эта гостиница оперирует только на низшем уровне бесконечности. В основном на уровне счётной бесконечности натуральных чисел: один, два, три, четыре и так далее. Георг Кантор назвал этот уровень бесконечности ℵ₀ [алеф-нуль]. Мы используем натуральные числа для номеров комнат, а также для номеров сидений в автобусе. Если бы мы работали на более высоком уровне бесконечности, то есть на уровне действительных чисел, наш алгоритм невозможно было бы использовать, так как нам не удалось бы систематично включить в него все числа.
В бесконечной гостинице действительных чисел есть подвальные комнаты с отрицательным номером, дробные комнаты, в которых постоялец подозревает, что у него меньше места, чем у счастливчика в номере один, квадратные корни из комнат, как, например, комната с номером корень из двух или номер π [пи] с дополнительным туалетом. Ни один уважающий себя администратор не захочет работать в такой гостинице, даже за бесконечную зарплату.
Однако, в бесконечной гостинице Гильберта, где все комнаты заняты, но одновременно всегда есть свободные, трудности, с которыми сталкивается обычный прилежный и немного чересчур гостеприимный администратор, напоминают, как сложно нашим относительно ограниченным умом осмыслить необъятную природу бесконечности. Возможно, вам будет проще понять всё это, когда вы хорошенько выспитесь, но, скорее всего, в два ночи вам придётся переехать в другой номер.
[Здесь можно посмотреть видео на языке оригинала:]
[The Infinite Hotel Paradox - Jeff Dekofsky]
Комментарии
Отправить комментарий